設(shè)計(jì)仿真 | 約束的代數(shù)方程

01

簡 介 

約束作為多體動力學(xué)的基本要素，應(yīng)用在每個模型中。本文對軟件界面的約束及其對應(yīng)的代數(shù)方程進(jìn)行整理說明，以期更好的應(yīng)用軟件。

約束可以分為定常約束（與時間無關(guān)的）和非定常約束（與時間相關(guān)的）。又可以分為完整約束（對位移進(jìn)行約束）和非完整約束（對速度進(jìn)行約束）。不同的分類應(yīng)用在不同的分析場景，本文只對空間定常約束，即大家熟悉的固定副、球副、圓柱副、移動副、旋轉(zhuǎn)副、萬向副、平行副、垂直副進(jìn)行說明。

02

約束的代數(shù)方程 

固定副

即部件j的質(zhì)心與部件i的質(zhì)心位置/角度的差值是個常數(shù)。

球副

全局坐標(biāo)系下，部件i與部件j的這兩個點(diǎn)位置始終重合，從而使部件j不能與部件i有相對運(yùn)動，即限制了部件j的三個移動自由度。

圓柱副

第一項(xiàng)，部件i與部件j上的兩個向量一直平行，限制了部件j繞部件i兩個方向的轉(zhuǎn)動（若是部件j能夠相對轉(zhuǎn)動，那么初始平行的兩個向量就不滿足平行關(guān)系）；第二項(xiàng)，部件i上的向量與約束軸線平行，限制了部件j的兩個移動（若是部件j朝著其他方向移動，那么sij與hi將不再平行）。

移動副

在圓柱副的基礎(chǔ)上再加第三項(xiàng)，額外限制旋轉(zhuǎn)，ni與nj分別是在部件i與部件j上的兩個向量，相互垂直，且都垂直于約束軸線。（若是部件j轉(zhuǎn)動，那么兩個向量將不滿足垂直關(guān)系）

旋轉(zhuǎn)副

在圓柱副的基礎(chǔ)上再加第三項(xiàng)，額外限制移動，及sij在這個方向的投影一直是0，或者一個常數(shù)。

萬向副

球副的基礎(chǔ)上再額外限制旋轉(zhuǎn)。（道理同移動副的第三項(xiàng)）

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圖1 常見約束副

表1 約束公式匯總

從上表也可以看出，旋轉(zhuǎn)副也可以用一個球副疊加限制兩個旋轉(zhuǎn)自由度的平行副： 

也可以看出垂直副、平行副是基礎(chǔ)副，其他約束可以用其來構(gòu)造。

03

 萬向副的驗(yàn)證 

萬向副由于其約束關(guān)系，存在不等速的特性。本節(jié)通過Matlab與Adams分別建立模型，驗(yàn)證此特性。

圖2 萬向副驗(yàn)證模型

在Adams中創(chuàng)建部件i（紅色圓柱），部件j（綠色圓柱），部件i與大地旋轉(zhuǎn)副約束，并施加60deg/s的恒定角速度驅(qū)動；部件j與大地平行副約束，部件j與部件i萬向副約束。

在Matlab中，采用相同的約束。

圖3 Adams結(jié)果VS Matlab結(jié)果

兩者結(jié)果完全一樣，驗(yàn)證了上述旋轉(zhuǎn)副、萬向副及平行副的代數(shù)方程。

04

參考文獻(xiàn) 

[1] computational Dynamics (3rd). Ahmed A. Shabana.